Модели поведения цены акций. Определение стоимости опционов

Введение

Эта тема принадлежит разделу quantitative finance, что может быть примерно переведено как «вычислительные методы в финансах». Мы будем рассматривать проблему оценивания производных инструментов (деривативов), активно торгуемых на биржах по всему миру. Для начала необходимо иметь базовое представление о том, как устроен опционный контракт и почему он называется производным, а также что такое option payoff и чем различаются европейский и американский типы опционных контрактов.

Обычно в этом месте предлагают почитать Халла, но он может показаться слишком зубодробительным. В этом случае более плавное введение в тематику стоит искать у Люу. Читать обе книжки можно сразу с глав про опционы. Не пугайтесь, если что-то непонятно сразу – финансы и биржевые инструменты сильно нагружены собственной терминологией, к которой на первом этапе нужно просто привыкнуть.

Библиография

John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives

На русском: Джон К. Халл, Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты

Y.-D. Lyuu, Financial Engineering and Computation

На русском: Ю-Дау Люу, Методы и алгоритмы финансовой математики

Задание 1 (биномиальная модель)

Биномиальная ​модель формулируется элементарно: за единицу времени ​цена акции либо увеличивается с вероятностью p, либо уменьшается с вероятностью 1-p. Однако уже такой простой модели достаточно, чтобы ​получить ​содержательные ​результаты. Ключевая вещь, которую здесь необходимо научиться применять – аргумент о безарбитражности. Разобравшись с этим принципом, мы сможем аналитически решать задачи оценивания опционов европейского типа.

После этого можно и запрограммировать алгоритм прохода по биномиальному дереву, а также метод Монте-Карло, и сравнить получившиеся результаты. Используя эти алгоритмы, мы сможем построить графики цены опциона в зависимости от цены базового актива (профили), и исследовать сходимость оценок по методу Монте-Карло к истинному значению (например, рассчитанному вручную).

Основная идея прохода по дереву выглядит так: зная цены базового актива в моменты t и t+1 и опциона в момент t+1, мы можем посчитать цену опциона в момент t. У нас есть полное дерево для базового актива, а также цены опциона в момент экспирации. Значит, мы сможем добраться по вершины дерева цены опциона, а это и есть интересующее нас значение (цена опциона в момент 0).

Основная идея метода Монте-Карло состоит в моделировании большого количества случайных траекторий базового актива, и подсчёта средней выплаты по всему множеству траекторий (т.е. того среднего дохода, который получает покупатель опциона в момент истечения его срока; соответственно, это и есть справедливая цена опциона). Если процентная ставка равна нулю, то такое среднее по всем возможным траекториям и есть справедливая цена (нужно уметь объяснить, почему это так).

Что нужно сделать

  1. Верно решить задачи на биномиальную модель;
  2. Запрограммировать два алгоритма: обход дерева и Монте-Карло;
  3. Показать, что алгоримты работают правильно: построить профили цены опционов, продемонстрировать сходимость.

Баллы

2 курс – 20, 1 курс – 40.

Задание 2 (модель Блэка-Шоулза)

Биномиальная модель, конечно, хороша, но она сильно упрощает истинное положение дел, и у неё есть существенные практические ограничения. Модель Блэка-Шоулза гораздо более содержательна в плане математики, и за её разработку авторам была присуждена Нобелевская премия по экономике 1997 года. Эта модель решает задачу оценивания европейских опционов аналитически, то есть в виде прямой формулы, в которую надо просто подставить входные данные. Здесь необходимо будет разобраться в исходных положениях модели и в том, из чего же, собственно, состоит формула Блэка-Шоулза.

Казалось бы, чего ещё желать, но для опционов других типов вывести прямую формулу не удастся. Поэтому на выручку снова придут численные методы, а именно метод Монте-Карло. Нас будет интересовать корректность результатов, зависимость от параметров алгоритмов и скорость сходимости оценок Монте-Карло к истинному значению, полученному по формуле Блэка-Шоулза.

Что нужно сделать

  1. Разобраться в положениях и результатах модели Блэка-Шоулза;
  2. Запрограммировать метод Монте-Карло для этой модели;
  3. Показать, что алгоритм работает корректно: построить профили цены опционов, продемонстрировать сходимость.

Баллы

2 курс – 20, 1 курс – 40.

Руководитель

Антон Антонов

research/prob_fin_math.txt · Последние изменения: 2018/09/03 17:25 — nina
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0