Бросание шарика на доску Гальтона

Задание 1

Есть доска Гальтона высоты $N$. В $i$-м ряду доски, $1 \le i \le N$, вбиты $i$ гвоздиков. $(i, j)$-й гвоздик в этом ряду, $1 \le j \le i$, с вероятностью $p_{i,j}$ перебрасывает шарик на $(i+1, j+1)$-й гвоздик, с вероятностью $(1-p_{i, j})$ – на $(i+1, j)$ гвоздик. Под $(N+1)$-м рядом гвоздиков подразумевается одна из $N+1$ корзин, в которую шарик падает окончательно. Изначально шарик падает на гвоздик $(1, 1)$. Вопрос: при каких вероятностях $p_{i,j}$ в корзинах получится равномерное распределение (т.е. вероятность попадания шарика в каждую из $N+1$ корзин равна $\frac{1}{N+1}$)? Решение нужно обосновать.

Баллы

$N$ = 2 и 3: 2 курс – 5 баллов, 1 курс – 10 баллов.
Любое $N$, $p_{i,j}$ могут зависеть от $N$: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Любое $N$, $p_{i, j}$ не зависят от $N$: 2 курс – 20 баллов, 1 курс – 40 баллов.

Подготовка

Нужно ознакомиться с элементарной теорией вероятностей (например, Ширяев А.Н., Вероятность-1, третье издание, Москва, МЦНМО, 2004, гл. 1, пар. 1-2). Заметим, что если все $p_{i, j}$ равны одному и тому же $p$, то распределение (номера корзины – 1), в которую попадает шарик – это биномиальное распределение с $N+1$ исходами и вероятностью $p$.

При большом $N$ биномиальное распределение похоже на нормальное. Поэтому эксперимент с бросанием шариков используют для демонстрации того, как можно получить примерно нормальное распределение.

Руководитель

Никита Звонарев

research/prob_galton.txt · Последние изменения: 2018/09/09 01:35 — nikita
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0