Грабитель банка и монетка в 3D решетке

Условие

Грабитель банка попал в ловушку. При попытке выноса ценностей из хранилища сработала охранная система и единственный коридор по которому можно выбраться перегородила трехмерная решетка из невидимых невооруженному глазу периодически возникающих инфракрасных лучей (с периодичностью 0.5 сек. с продолжительностью 0.00001 сек). При пересечении любого из лучей физическим объектом срабатывает система сверхмощных лазеров (лучи, которые пересек объект, становятся лазерными(и видимыми) на 5 сек.). Мощности лазеров хватит, чтобы разрезать человека на части. На первый взгляд, ситуация безвыходная. Однако, еще не все потеряно. В хранилище есть терминал, с которого можно ввести код, отключающий охранную систему. Код восьмизначный. К счастью для грабителя, охранную систему разрабатывал его бывший одногруппник, выпускник кафедры статистического моделирования. Тот как-то похвастался, что придумал код, который невозможно забыть: среднее число пересечений лучей при случайном размещении (и фиксации) произвольно ориентированной монеты в произвольном месте внутренней области решетки (в качестве кода берутся 8 цифр этого числа без учета разделяющего знака). Однако, в свое время, грабителя отчислили с мат-меха, потому что он не смог сдать зачет по моделированию на 3-м курсе. Хватит ли ему тех знаний, что он приобрел на 1-2 курсах, чтобы найти ответ?

Доп. данные

Размеры решетки 3x3x6 метров. Диаметр монеты 1 см. Каждая ячейка решетки образует куб с длинной грани 0.5 см. Расстояние от нижней ячейки решетки до пола: 1.1 см. Толщиной монеты можно пренебречь. Количество монет в хранилище - более 100 тыс. Инфракрасные лучи возникают через каждые 0.5 секунды на 0.00001 сек. Таким образом, если, например, монета находится в области 1.4 секунды, то она может попасть в пересечение лучей 2 или 3 раза. (Число пересеченных лучей в момент попадания зависит от ориентации монеты). Каждое попадание можно рассматривать как отдельный эксперимент. Считаем, что монету лазеры не разрезают.

Задачу можно решить как методами статистического моделирования, так и используя классическую теорию вероятности. Доступа в интернет у грабителя нет.

Подсказка

Для решения задачи с помощью статистического моделирования достаточно написать функцию, позволяющую посчитать, сколько лучей пересечет монета, размещенная во внутренней области решетки при заданных углах поворота и фиксированных координатах центра. Далее эту функцию нужно запустить N раз для случайных углов поворота и координат центра, после чего поделить общее число пересечений на N.

Задание 1

Найти среднее число пресечений монеты с лучами решетки (при каждом испытании произвольно ориентированная монета размещается случайным образом в произвольном месте внутренней области решетки (т.е. считаем, что монета всегда остается внутри области)).

Баллы

Теоретическое решение: 2 курс – 25 баллов, 1 курс – 50 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 15 баллов, 1 курс – 30 баллов.

Задание 2

Оценить, хватит ли грабителю времени, чтобы сбежать из банка, если он попробует решить задачу с помощью физического моделирования (путем бросания монетки). Считаем, что при каждом броске монетка находится внутри решетки не более 2 сек. До открытия банка 6 часов.

Баллы

2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Задание 3

Решаем ту же задачу, но вместо монетки используем шарик диаметра 1 см.

Баллы

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Баллы за задания 1 и 3 не суммируются!

Задание 4

Решаем исходную задачу при уловии, что «решетка» состоит только из параллельных лучей.

Баллы

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Задание 5

Определить распределение вероятностей для монетки единичного радиуса размещаемой случайным образом на плоскости, расчерченной на единичные клетки. Т.е. посчитать вероятность того, что лежащая на плоскости монета покрывает 2, 3 или 4 вершины клетки.

Баллы

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Подготовка

Почитать про метод Монте-Карло. Посмотреть определение вероятности.

Литература

Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. «Мир», 1969 г.

Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1982.

Руководитель

Шпилев Петр Валерьевич

research/prob_grid.txt · Последнее изменение: 2020/09/04 20:20 — pitshp
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0