Грабитель банка и монетка в 3D решетке

Грабитель банка попал в ловушку. При попытке выноса ценностей из хранилища сработала охранная система и единственный коридор по которому можно выбраться перегородила трехмерная решетка из невидимых невооруженному глазу периодически возникающих инфракрасных лучей (с периодичностью 0.5 сек. с продолжительностью 0.00001 сек). При пересечении любого из лучей физическим объектом срабатывает система сверхмощных лазеров (лучи, которые пересек объект, становятся лазерными(и видимыми) на 0.1 сек.). Мощности лазеров хватит, чтобы разрезать человека на части. На первый взгляд, ситуация безвыходная. Однако, еще не все потеряно. В хранилище есть терминал, с которого можно ввести код, отключающий охранную систему. Код восьмизначный. К счастью для грабителя, охранную систему разрабатывал его бывший одногруппник, выпускник кафедры статистического моделирования. Тот как-то похвастался, что придумал код, который невозможно забыть: среднее число пересечений лучей при случайном размещении (и фиксации) произвольно ориентированной монеты в произвольном месте внутренней области решетки (в качестве кода берутся 8 цифр этого числа без учета разделяющего знака). Однако, в свое время, грабителя отчислили с мат-меха, потому что он не смог сдать зачет по моделированию на 3-м курсе. Хватит ли ему тех знаний, что он приобрел на 1-2 курсах, чтобы найти ответ?

Размеры решетки 3x3x6 метров. Диаметр монеты 1 см. Каждая ячейка решетки образует куб с длинной грани 0.5 см. Расстояние от нижней ячейки решетки до пола: 1.1 см. Толщиной монеты можно пренебречь. Количество монет в хранилище - более 100 тыс. Инфракрасные лучи возникают через каждые 0.5 секунды на 0.00001 сек. Таким образом, если, например, монета находится в области 1.4 секунды, то она может попасть в пересечение лучей 2 или 3 раза. (Число пересеченных лучей в момент попадания зависит от ориентации монеты). Каждое попадание можно рассматривать как отдельный эксперимент. Считаем, что монету лазеры не разрезают.

Для решения задачи с помощью статистического моделирования достаточно написать функцию, позволяющую посчитать, сколько лучей пересечет монета, размещенная во внутренней области решетки при заданных углах поворота и фиксированных координатах центра. Далее эту функцию нужно запустить N раз для случайных углов поворота и координат центра, после чего поделить общее число пересечений на N.

Найти среднее число пресечений монеты с лучами решетки (при каждом испытании произвольно ориентированная монета размещается случайным образом в произвольном месте внутренней области решетки (т.е. считаем, что монета всегда остается внутри области)).

Теоретическое решение: 2 курс – 25 баллов, 1 курс – 50 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 15 баллов, 1 курс – 30 баллов.

Оценить, хватит ли грабителю времени, чтобы сбежать из банка, если он попробует решить задачу с помощью физического моделирования (путем бросания монетки). Считаем, что при каждом броске монетка находится внутри решетки не более 2 сек. До открытия банка 6 часов.

2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Решаем ту же задачу, но вместо монетки используем шарик диаметра 1 см.

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Решаем исходную задачу при уловии, что «решетка» состоит только из параллельных лучей.

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Определить распределение вероятностей для монетки единичного радиуса размещаемой случайным образом на плоскости, расчерченной на единичные клетки. Т.е. посчитать вероятность того, что лежащая на плоскости монета покрывает 2, 3 или 4 вершины клетки.

Теоретическое решение: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Решение с помощью моделирования: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.

Почитать про метод Монте-Карло. Посмотреть определение вероятности.

Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. «Мир», 1969 г.

Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1982.

Шпилев Петр Валерьевич